Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | Agustus 2019 |
| Nomor Soal | : | 3 |
SOAL
Dengan menggunakan metode maximum likelihood, suatu peubah acak \(X\) dapat dimodelkan dengan distribusi Pareto. Diketahui informasi sebagai berikut:
- Parameter model \(\alpha = 3,0\) dan \(\theta = 1.000\)
- Inverse dari matrix informasi dengan alpha (\(\alpha \)) sebagai parameter pertama dan theta (\(\theta \)) sebagai parameter kedua adalah sebagai berikut:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,029}&{12}\\ {12}&{5333} \end{array}} \right]\)
Tentukan standard deviasi dari estimasi fungsi survival pada \(x = 5000\).
- Kurang dari 0,0005
- Sedikitnya 0,0005 tapi kurang dari 0,0010
- Sedikitnya 0,0010 tapi kurang dari 0,0015
- Sedikitnya 0,0015 tapi kurang dari 0,0020
- Sedikitnya 0,0020
| Diketahui | Menggunakan metode maximum likelihood, suatu peubah acak \(X\) dapat dimodelkan dengan distribusi Pareto. Diketahui informasi sebagai berikut: - Parameter model \(\alpha = 3,0\) dan \(\theta = 1.000\) dengan estimasi fungsi survival pada \(x = 5000\)
- Inverse dari matrix informasi dengan alpha (\(\alpha \)) sebagai parameter pertama dan theta (\(\theta \)) sebagai parameter kedua adalah sebagai berikut:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,029}&{12}\\ {12}&{5333} \end{array}} \right]\)
|
| Rumus yang digunakan | Pareto: \(S\left( x \right) = {\left( {\frac{\theta }{{x + \theta }}} \right)^\alpha }\)
Metode Delta – 2 Variabel
\(Var\left( {g\left( {X,Y} \right)} \right) = Var\left( X \right){\left( {\frac{{\partial g}}{{\partial x}}} \right)^2} + 2Cov\left( {X,Y} \right)\frac{{\partial g}}{{\partial x}}\frac{{\partial g}}{{\partial y}} + Var\left( X \right){\left( {\frac{{\partial g}}{{\partial y}}} \right)^2}\) |
| Proses pengerjaan | \(S\left( {x = 5,000} \right) = g\left( {\alpha ,\theta } \right) = {\left( {\frac{\theta }{{5,000 + \theta }}} \right)^\alpha }\) |
| \({g_\alpha }\left( {\hat \alpha ,\hat \theta } \right) = \frac{{\partial g}}{{\partial \alpha }} = {\left( {\frac{\theta }{{5,000 + \theta }}} \right)^\alpha } \cdot \ln \left( {\frac{\theta }{{5,000 + \theta }}} \right)\)
\({g_\alpha }\left( {\hat \alpha ,\hat \theta } \right) = {\left( {\frac{{1,000}}{{5,000 + 1,000}}} \right)^3} \cdot \ln \left( {\frac{{1,000}}{{5,000 + 1,000}}} \right) = – 8.295183 \cdot {10^{ – 3}}\) |
| \({g_\theta }\left( {\hat \alpha ,\hat \theta } \right) = \frac{{\partial g}}{{\partial \theta }} = \alpha {\left( {\frac{\theta }{{5,000 + \theta }}} \right)^{\alpha – 1}} \cdot \left( {\frac{{5,000}}{{{{\left( {5,000 + \theta } \right)}^2}}}} \right)\)
\({g_\theta }\left( {\hat \alpha ,\hat \theta } \right) = 3{\left( {\frac{{1,000}}{{5,000 + 1,000}}} \right)^{3 – 1}} \cdot \left( {\frac{{5,000}}{{{{\left( {5,000 + 1,000} \right)}^2}}}} \right) = 1.157407 \cdot {10^{ – 5}}\) |
| \(Var\left( {g\left( {X,Y} \right)} \right) = \)
\(= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 8.295183 \cdot {{10}^{ – 3}}}&{1.157407 \cdot {{10}^{ – 5}}} \end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.029}&{12}\\ {12}&{5333} \end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 8.295183 \cdot {{10}^{ – 3}}}\\ {1.157407 \cdot {{10}^{ – 5}}} \end{array}} \right]\)
\(Var\left( {g\left( {X,Y} \right)} \right) = 4.056789 \cdot {10^{ – 7}}\)
\(Std = \sqrt {Var\left( {g\left( {X,Y} \right)} \right)} = \sqrt {4.056789} = 0.0006369\) |
| Jawaban | b. Sedikitnya 0,0005 tapi kurang dari 0,0010 |
