Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
25 |
SOAL
Diberikan data sebagai berikut:
- Banyaknya klaim yang diamati selama periode 1 tahun berdistribusi Poisson dengan mean \(\theta \)
- The prior density adalah
\(\pi \left( \theta \right) = \frac{{\exp \left[ { – \theta } \right]}}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}\) ,\(0 < \theta < k\)
- The unconditional probability dari observasi tidak terjadi klaim (zero claim) selama 1 tahun adalah 0,575
Hitunglah \(k\)
- 1,5
- 1,7
- 1,9
- 2,1
- 2,3
| Diketahui |
Diberikan data sebagai berikut:
- Banyaknya klaim yang diamati selama periode 1 tahun berdistribusi Poisson dengan mean \(\theta \)
- The prior density adalah
\(\pi \left( \theta \right) = \frac{{\exp \left[ { – \theta } \right]}}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}\) ,\(0 < \theta < k\)
- The unconditional probability dari observasi tidak terjadi klaim (zero claim) selama 1 tahun adalah 0,575
|
| Rumus yang digunakan |
- Poisson: \(\Pr \left( {X = x} \right) = \frac{{{\lambda ^x}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{x!}}\)
- The unconditional probability: \(f\left( x \right) = \int {f\left( {\left. x \right|\theta } \right)\pi \left( \theta \right)d\theta } \)
|
| Proses pengerjaan |
Diketahui tidak terjadi klaim, maka \(\Pr \left( {X = 0} \right) = \frac{{{\lambda ^0}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{0!}} = \exp \left[ { – \lambda } \right]\) |
|
The unconditional probability
\(f\left( x \right) = \int\limits_0^k {\exp \left[ { – \theta } \right]\frac{{\exp \left[ { – \theta } \right]}}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}d\theta } \)
\(0.575 = \frac{1}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}\int\limits_0^k {\exp \left[ { – 2\theta } \right]d\theta } \)
\(0.575 = \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 – \exp \left[ { – 2k} \right]}}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}} \right)\)
\(1.15 – 1.15\exp \left[ { – k} \right] = 1 – \exp \left[ { – 2k} \right]\)
\({{x^2} – 1.15x + 0.15 = 0}\) misal \({x = \exp \left[ { – k} \right]}\)
\(x = \frac{{1.15 \pm \sqrt {{{\left( { – 1.15} \right)}^2} – 4\left( 1 \right)\left( {0.15} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{1.15 \pm 0.85}}{2}\)
Diperoleh \(x = 1\) atau \(x = 0.15\). Kita gunakan \(x = 0.15\) karena untuk \(x = 1\) maka \(k = 0\)
\(0.15 = \exp \left[ { – k} \right]\)
\(k = – \ln \left( {0.15} \right) = 1.9\) |
| Jawaban |
C. 1,9 |
