Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
| Nomor Soal |
: |
20 |
SOAL
Dua jenis risiko dipilih secara acak dari suatu populasi. Risiko pertama, mempunyai 0 klaim pada tahun pertama, 0 buah klaim pada tahun kedua, 1 klaim pada tahun ketiga, dan 0 klaim pada tahun terakhir : (0,0,1,0). Risiko kedua, mempunyai 2 klaim pada tahun pertama, 1 klaim pada tahun kedua, 0 dan 2 klaim pada dua tahun terakhir (2,1,0,2). Hitung estimatasi bobot kredilitas (“credibility weighted estimates”) untuk ekspetasi banyak klaim per tahun untuk setiap risiko \(\hat \mu (\theta 1)\) dan \(\hat \mu (\theta 2)\)?
- \(\hat \mu (\theta 1)\) = 0,3128 dan \(\hat \mu (\theta 2)\) = 1,1842
- \(\hat \mu (\theta 1)\) = 0,5348 dan \(\hat \mu (\theta 2)\) = 1,1021
- \(\hat \mu (\theta 1)\) = 0,3851 dan \(\hat \mu (\theta 2)\) = 1,1420
- \(\hat \mu (\theta 1)\) = 0,3958 dan \(\hat \mu (\theta 2)\) = 1,1042
| Diketahui |
- \({{\bar X}_1} = 0,25{\rm{ }}\)
- \({{\bar X}_2} = 1,25\)
- \(\hat \mu = \bar X = \frac{6}{8} = 0,75\)
|
| Rumus yang digunakan |
- \(\hat \mu ({\theta _1}){\rm{ }} = \hat Z{}_1{{\bar X}_1} + {\rm{ }}(1 – \hat Z{}_1)\hat \mu \)
- \(\hat \mu ({\theta _2}){\rm{ }} = \hat Z{}_2{{\bar X}_2} + {\rm{ }}(1 – \hat Z{}_2)\hat \mu \)
|
| Proses pengerjaan |
\(\hat v = \frac{{3{{(0 – 0,25)}^2} + {\rm{ }}{{(1 – 0,25)}^2} + 2{{(2 – 1,25)}^2} + {\rm{ }}{{(1 – 1,25)}^2} + {\rm{ }}{{(0 – 1,25)}^2}}}{6} = \frac{7}{{12}}\)
\(\hat a = \frac{{4{{(0,25 – 0,75)}^2} + 4{{(1,25 – 0,75)}^2} – \frac{7}{{12}}}}{{8 – \frac{1}{8}({4^2} + {4^2})}} = \frac{{17}}{{48}}\)
$k = \frac{{\hat v}}{{\hat a}} = \frac{{28}}{{17}}$
\(\hat Z{}_1 = \hat Z{}_2 = \frac{4}{{4 + \frac{{28}}{{17}}}} = \frac{{17}}{{24}}\)
Untuk risiko pertama, estimasi bobot kredibilitas untuk ekspetasi banyak klaim per tahun adalah:
\(\hat \mu ({\theta _1}){\rm{ }} = \hat Z{}_1{{\bar X}_1} + {\rm{ }}(1 – \hat Z{}_1)\hat \mu = \left( {\frac{{17}}{{24}}} \right)\left( {0,25} \right) + \left( {1 – \frac{{17}}{{24}}} \right)\left( {0,75} \right) = 0,3958\)
Untuk risiko kedua, estimasi bobot kredibilitas untuk ekspetasi banyak klaim per tahun adalah:
\(\hat \mu ({\theta _2}){\rm{ }} = \hat Z{}_2{{\bar X}_2} + {\rm{ }}(1 – \hat Z{}_2)\hat \mu = \left( {\frac{{17}}{{24}}} \right)\left( {1,25} \right) + \left( {1 – \frac{{17}}{{24}}} \right)\left( {0,75} \right) = 1,1042\) |
| Jawaban |
d. \(\hat \mu (\theta 1)\) = 0,3958 dan \(\hat \mu (\theta 2)\) = 1,1042 |
