Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2018 |
| Nomor Soal |
: |
17 |
SOAL
Banyaknya klaim mengikuti distribusi negative binomial dengan parameter \(\beta \) dan \(r\) dimana \(\beta \) tidak diketahui dan \(r\) diketahui. Misalkan kamu diberi tugas untuk mengestimasi \(\beta \) dengan jumlah observasi sebanyak \(n\), yang mana diketahui \(\bar x\) adalah rataan dari observasi ini
Tentukan \(\beta \) dengan metode maximum likelihood
- \(\frac{{\bar x}}{{{r^2}}}\)
- \(\frac{{\bar x}}{r}\)
- \(\bar x\)
- \(r\bar x\)
- \({r^2}\bar x\)
| Diketahui |
- Banyaknya klaim mengikuti distribusi negative binomial dengan parameter \(\beta \) dan \(r\) dimana \(\beta \) tidak diketahui dan \(r\) diketahui.
- Misalkan kamu diberi tugas untuk mengestimasi \(\beta \) dengan jumlah observasi sebanyak \(n\), yang mana diketahui \(\bar x\) adalah rataan dari observasi ini
|
| Rumus yang digunakan |
\({p\left( x \right) = \frac{{r\left( {r + 1} \right) \cdots \left( {r + x – 1} \right){\beta ^x}}}{{x!{{\left( {1 + \beta } \right)}^{r + x}}}},}\) \({L\left( \beta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {p\left( x \right)} ,}\) \({\frac{{d\ln \left[ {L\left( \beta \right)} \right]}}{{d\beta }} = 0}\) |
| Proses pengerjaan |
\(L\left( \beta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{r\left( {r + 1} \right) \cdots \left( {r + {x_i} – 1} \right){\beta ^{{x_i}}}}}{{{x_i}!{{\left( {1 + \beta } \right)}^{r + {x_i}}}}}} \propto \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{\beta ^{{x_i}}}}}{{{{\left( {1 + \beta } \right)}^{r + {x_i}}}}}} \)
\(\ln \left[ {L\left( \beta \right)} \right] = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{x_i}\ln \beta – \left( {r + {x_i}} \right)\ln \left( {1 + \beta } \right)} \right]} \)
\(\frac{{d\ln \left[ {L\left( \beta \right)} \right]}}{{d\beta }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {\frac{{{x_i}}}{\beta } – \frac{{r + {x_i}}}{{1 + \beta }}} \right]} = 0\)
\(0 = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{x_i}\left( {1 + \beta } \right) – \beta \left( {r + {x_i}} \right)} \right]} \)
\(0 = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{x_i} + {x_i}\beta – \beta r – {x_i}\beta } \right]} \)
\(0 = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} – \sum\limits_{i = 1}^n {\beta r} \)
\(0 = n\bar x – n\beta r\)
\(\hat \beta = \frac{{\bar x}}{r}\) |
| Jawaban |
b. \(\frac{{\bar x}}{r}\) |
