Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
| Nomor Soal |
: |
15 |
SOAL
Pernyataan dibawah digunakan untuk menjawab soal untuk no 12-15
Suatu model statistik “individual losses” diketahui memiliki distribusi gamma dengan paramater \(\alpha \) = 2 dan\(\theta \)= 100. Banyaknya klaim mengikuti distribusi binomial negatif dengan \(\tau \) = 2 dan \(\beta \) = 1,5. Untuk setiap kerugian, berlaku deduktibel standard (“ordinary deductible“) ialah 50 dan loss limit dari besar klaim sebelum dipotong deduktibel ialah 175.
Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari suatu besar klaim \({Y_p}\) dari suatu pembayaran klaim diberikan pembayaran klaim tersebut dibayarkan!
Hint : suatu klaim/kerugian dibayarkan apabila nilai pembayaran klaim tersebut lebih dari deduktibel
- \({F_{{Y^P}}}(y) = \left( {1 + \frac{y}{{150}}} \right){e^{\frac{y}{{100}}}}\)
- \({F_{{Y^P}}}(y) = 1 – \left( {1 + \frac{y}{{150}}} \right){e^{ – {\rm{ }}\frac{y}{{100}}}}\)
- \({F_{{Y^P}}}(y) = 1 – \left( {\frac{y}{{150}}} \right){e^{{\rm{ }}\frac{y}{{100}}}}\)
- \({F_{{Y^P}}}(y) = 1 + \left( {\frac{y}{{150}}} \right){e^{ – {\rm{ }}\frac{y}{{100}}}}\)
| Diketahui |
“individual losses” diketahui memiliki distribusi gamma dengan paramater:
\(\alpha \) = 2
\(\theta \)= 100
Banyaknya klaim mengikuti distribusi binomial negatif dengan:
\(\tau \) = 2
\(\beta \) = 1,5
Untuk setiap kerugian, berlaku deduktibel standard (“ordinary deductible“) ialah 50 dan loss limit dari besar klaim sebelum dipotong deduktibel ialah 175 |
| Rumus yang digunakan |
\({F_{{Y^P}}}(y){\rm{ }} = 1 – \frac{{1 – {F_X}(y + d)}}{{1 – {F_X}(d)}}\) |
| Proses pengerjaan |
\({F_{{Y^P}}}(y){\rm{ }} = 1 – \frac{{1 – {F_X}(y + d)}}{{1 – {F_X}(d)}} = 1 – \frac{{1 – {F_X}(y + 50)}}{{1 – {F_X}(50)}} = \frac{{{F_X}(y + 50) – {F_X}(50)}}{{1 – {F_X}(50)}}\)
\({F_X}(y + 50) = \Gamma \left( {2;\frac{{y + 50}}{{100}}} \right)\)
\({F_X}(50) = \Gamma \left( {2;\frac{{50}}{{100}}} \right)\)
\({F_{{Y^P}}}(y){\rm{ }} = 1 – \left( {1 + \frac{y}{{150}}} \right){e^{ – {\rm{ }}\frac{y}{{100}}}}\) |
| Jawaban |
b. \({F_{{Y^P}}}(y) = 1 – \left( {1 + \frac{y}{{150}}} \right){e^{ – {\rm{ }}\frac{y}{{100}}}}\) |
