Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
14 |
SOAL
Banyaknya klaim memiliki distribusi sebagai berikut:
\({p_k} = {p_{k – 1}}\left( {0,6 + \frac{{0,3}}{k}} \right)\) ; \(k \ge 1\)
- Besarnya klaim berdistribusi Pareto dengan parameter \(\theta = 1.000\) dan \(\alpha = 3\)
- Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas
Hitunglah variansi dari total kerugian (aggregate losses)
- kurang dari 500.000
- paling sedikit 3.500.000, akan tetapi kurang dari 000.000
- paling sedikit 4.000.000, akan tetapi kurang dari 500.000
- paling sedikit 4.500.000, akan tetapi kurang dari 000.000
- lebih dari 000.000
| Diketahui |
Banyaknya klaim memiliki distribusi sebagai berikut:
\({p_k} = {p_{k – 1}}\left( {0,6 + \frac{{0,3}}{k}} \right)\) ; \(k \ge 1\)
- Besarnya klaim berdistribusi Pareto dengan parameter \(\theta = 1.000\) dan \(\alpha = 3\)
- Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas
|
| Rumus yang digunakan |
- Agregat: \(Var\left[ S \right] = E\left[ N \right]Var\left[ X \right] + Var\left[ N \right]E{\left[ X \right]^2}\)
- Negatif Binomial \(\left( {a,b,0} \right)\): \(a = \frac{\beta }{{1 + \beta }}\); \(b = \left( {r – 1} \right)a\); \(E\left[ N \right] = r\beta \) dan \(Var\left[ N \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right)\)
- Pareto:
\(E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\alpha – 1}}\) dan
\(Var\left( X \right) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} – {\left( {\frac{\theta }{{\alpha – 1}}} \right)^2}\)
|
| Proses pengerjaan |
Negatif Binomial
\(a = \frac{\beta }{{1 + \beta }} = 0.6\) \(b = \left( {r – 1} \right)a\)
\(\beta = 0.6 + 0.6\beta \) dan \(0.3 = \left( {r – 1} \right)0.6\)
\(\beta = 1.5\) \(r = 1.5\)
\(E\left[ N \right] = r\beta = \left( {1.5} \right)\left( {1.5} \right) = 2.25\)
\(Var\left[ N \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right) = \left( {1.5} \right)\left( {1.5} \right)\left( {2.5} \right) = 5.625\) |
|
Pareto
\(E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\alpha – 1}} = \frac{{1000}}{2} = 500\)
\(Var\left( X \right) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} – {\left( {\frac{\theta }{{\alpha – 1}}} \right)^2} = \frac{{2\left( {{{1000}^2}} \right)}}{{\left( 2 \right)\left( 1 \right)}} – {500^2} = 750,000\) |
|
\(Var\left[ S \right] = 2.25\left( {750,000} \right) + 5.625\left( {{{500}^2}} \right) = 3,093.750\) |
| Jawaban |
A. Kurang dari 3.500.000 |
