Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | November 2016 |
| Nomor Soal | : | 12 |
SOAL
Kerugian diassumsikan memiliki sebuah distribusi dengan fungsi distribusi kumulatif :
\(F\left( x \right) = 1 – 0,5\exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right] – 0.5\exp \left[ { – \frac{x}{{2\theta }}} \right]\)
Sebuah sampel observasi memiliki median sebesar 12
Hitunglah dengan menggunakan metode pencocokan median (matching median)
- 6,7
- 8,0
- 9,2
- 10,8
- 12,5
| Diketahui | Kerugian diassumsikan memiliki sebuah distribusi dengan fungsi distribusi kumulatif : \(F\left( x \right) = 1 – 0,5\exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right] – 0.5\exp \left[ { – \frac{x}{{2\theta }}} \right]\) Sebuah sampel observasi memiliki median sebesar 12 |
| Rumus yang digunakan | Median: \(F\left( x \right) = 0.5\) |
| Proses pengerjaan | \(F\left( {12} \right) = 0.5\)
\(1 – 0.5\exp \left[ { – \frac{{12}}{\theta }} \right] – 0.5\exp \left[ { – \frac{{12}}{{2\theta }}} \right] = 0.5\)
\(0.5\exp \left[ { – \frac{{12}}{\theta }} \right] + 0.5\exp \left[ { – \frac{{12}}{{2\theta }}} \right] = 0.5\)
\({\exp \left[ { – \frac{{12}}{\theta }} \right] + \exp \left[ { – \frac{{12}}{{2\theta }}} \right] = 1}\) misal \({\exp \left[ { – \frac{{12}}{{2\theta }}} \right] = x}\)
\({x^2} + x – 1 = 0\)
\(x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {1 + 4} }}{2}\) dipilih \(x = 0.618034\)
\(x = \exp \left[ { – \frac{{12}}{{2\theta }}} \right] = 0.618034\)
\(\theta = \frac{{ – 6}}{{\ln \left( {0.618034} \right)}}\)
\(\theta = 12.467\) |
| Jawaban | E. 12,5 |
