Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
27 |
SOAL
Pada 1 Januari, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan 10 polis “one-year term life insurance” pada usia x dengan independent future lifetime. Anda diberikan:
- Setiap polis membayarkan manfaat sebesar 1.000 pada akhir tahun jika pemegang polis meninggal dalam tahun tersebut
- Setiap pemegang polis membayar premi tunggal sebesar 90
- adalah sama untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0,3; \({q_x} = 0,0\) untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0,7; \({q_x} = 0,2\) untuk setiap pemegang polis
- \(i = 0,04\)
Hitunglah variansi dari present value of future losses yang diterbitkan pada variabel acak untuk seluruh portfolio (pembulatan terdekat). Hint: Var [Loss] = E[Var(Loss)] + Var(E[Loss])
- 800.000
- 900.000
- 1.000.000
- 1.400.000
- 1.800.000
| Diketahui |
Pada 1 Januari, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan 10 polis “one-year term life insurance” pada usia x dengan independent future lifetime. Anda diberikan:
- Setiap polis membayarkan manfaat sebesar 1.000 pada akhir tahun jika pemegang polis meninggal dalam tahun tersebut
- Setiap pemegang polis membayar premi tunggal sebesar 90
- adalah sama untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0,3; \({q_x} = 0,0\) untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0,7; \({q_x} = 0,2\) untuk setiap pemegang polis
- \(i = 0,04\)
|
| Rumus yang digunakan |
- \(Var\left[ {Loss} \right] = E\left[ {Var\left( {Loss} \right)} \right] + Var\left( {E\left[ {Loss} \right]} \right)\)
- \(Var\left( N \right) = E\left[ {Var\left( {\left. N \right|Q} \right)} \right] + Var\left( {E\left[ {\left. N \right|Q} \right]} \right)\)
- Binomial: \(E\left[ N \right] = np\) dan \(Var\left[ N \right] = npq\)
|
| Proses pengerjaan |
Misalkan N menyatakan jumlah kematian, maka \(S = 1000vN – 90\left( {10} \right)\) dengan N berdistribusi binomial \(\left( {10,Q} \right)\) dan
\(Q = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{{\rm{dengan\_peluang }}0,3}\\{0,2}&{{\rm{dengan\_peluang }}0,7}\end{array}} \right.\)
\(Var\left( N \right) = E\left[ {Var\left( {\left. N \right|Q} \right)} \right] +Var\left( {E\left[ {\left. N \right|Q} \right]} \right)\)
\(Var\left( N \right) = E\left[ {10Q\left( {1 – Q} \right)} \right] + Var\left( {10Q} \right)\)
\(Var\left( N \right) = 10E\left[ Q \right] – 10E\left[ {{Q^2}} \right] + {10^2}Var\left( Q \right)\)
\(Var\left( N \right) = 10E\left[ Q \right] – 10E\left[ {{Q^2}} \right] + 100\left( {E\left[ {{Q^2}} \right] – E{{\left[ Q \right]}^2}} \right)\)
\(Var\left( N \right) = 90E\left[ {{Q^2}} \right] + 10E\left[ Q \right] – 100E{\left[ Q \right]^2}\)
\(Var\left( N \right) = 90\left[ {{0^2}\left( {0.3} \right) + \left( {{{0.2}^2}} \right)\left( {0.7} \right)} \right] + \) \(10\left[ {0\left( {0.3} \right) + 0.2\left( {0.7} \right)} \right] – 100{\left[ {0\left( {0.3} \right) + 0.2\left( {0.7} \right)} \right]^2}\)
\(Var\left( N \right) = 1.96\)
\(Var\left( S \right) = Var\left( {1000vN – 900} \right)\)
\(Var\left( S \right) = {\left( {1000v} \right)^2}Var\left( N \right)\)
\(Var\left( S \right) = {\left( {\frac{{1000}}{{1.04}}} \right)^2}\left( {1.96} \right) = 1,812,130.178\) |
| Jawaban |
E. 1.800.000 |
