Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
November 2014 |
| Nomor Soal |
: |
26 |
SOAL
Kamu diberikan informasi sebagai berikut:
| \(x\) |
0 |
1 |
2 |
3 |
| \(\Pr \left[ {X = x} \right]\) |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
Method of moments digunakan untuk memperkirakan populasi rata-rata, \(\mu \) , dan variansi, \({\sigma ^2}\) , dengan \(\bar X\) dan \(S_n^2 = \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} – \bar X} \right)}^2}} }}{n}\) , berturutan.
Hitunglah bias dari \(S_n^2\) , ketika \(n = 4\)
- – 0,72
- – 0,49
- – 0,24
- – 0,08
- 0,08
| Diketahui |
| \(x\) |
0 |
1 |
2 |
3 |
| \(\Pr \left[ {X = x} \right]\) |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
Method of moments digunakan untuk memperkirakan populasi rata-rata, \(\mu \) , dan variansi, \({\sigma ^2}\) , dengan \(\bar X\) dan \(S_n^2 = \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} – \bar X} \right)}^2}} }}{n}\) |
| Rumus yang digunakan |
- \(E\left[ {\sum {{{\left( {{X_i} – \bar X} \right)}^2}} } \right] = \left( {n – 1} \right) \cdot Var\left( X \right)\)
- \(E\left[ {{\sigma ^2}} \right] = \frac{{E\left[ {\sum {{{\left( {{X_i} – \bar X} \right)}^2}} } \right]}}{n} = \frac{{n – 1}}{n} \cdot {\sigma ^2}\)
- \(bia{s_{{\sigma ^2}}}\left( {{\sigma ^2}} \right) = – \frac{{{\sigma ^2}}}{n}\)
|
| Proses pengerjaan |
Kita tahu bahwa unbiased estimator untuk varians adalah \({S^2} = \frac{{\sum {{{\left( {{X_i} – \bar X} \right)}^2}} }}{{n – 1}}\) dengan kata lain \(E\left[ {{S^2}} \right] = {\sigma ^2}\) . Tetapi
\(E\left[ {S_n^2} \right] = \frac{{n – 1}}{n}E\left[ {{S^2}} \right] = \frac{{n – 1}}{n}{\sigma ^2}\)
\(E\left[ {S_n^2} \right] – {\sigma ^2} = \frac{{n – 1}}{n}{\sigma ^2} – {\sigma ^2}\)
\(E\left[ {S_n^2} \right] – {\sigma ^2} = \left( {\frac{{n – 1}}{n} – 1} \right){\sigma ^2}\)
\(E\left[ {S_n^2} \right] – {\sigma ^2} = – \frac{{{\sigma ^2}}}{n}\)
\(\mu = 0\left( {0.5} \right) + 1\left( {0.3} \right) + 2\left( {0.1} \right) + 3\left( {0.1} \right) = 0.8\)
\({\sigma ^2} = {0^2}\left( {0.5} \right) + {1^2}\left( {0.3} \right) + {2^2}\left( {0.1} \right) + {3^2}\left( {0.1} \right) – {0.8^2} = 0.96\)
Jadi, nilai bias-nya \(= – \frac{{{\sigma ^2}}}{n} = – \frac{{0.96}}{4} = – 0.24\) |
| Jawaban |
C. – 0,24 |
