Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
10 |
SOAL
Informasi di bawah ini diperoleh dari pengamatan sampel atas enam individu untuk mengestimasi \({q_x}\):
- Semua individu yang masuk pengamatan berumur \(x + r,0 \le r < 0,5\)
- Satu individu melakukan withdrawal pada umur \(x + 0,6\)
- Dua individu melakukan withdrawal pada umur \(x + 0,75\)
- Satu individu meninggal pada umur \(x + 0,7\)
- Dua individu tetap hidup mencapai umur \(x + 1\)
Dengan menggunakan metode actuarial estimate diperoleh \({\hat q_x} = \frac{{10}}{{33}}\). Hitunglah \(r\).
- 0,10
- 0,25
- 0,30
- 0,40
- 0,45
| Diketahui |
- Semua individu yang masuk pengamatan berumur \(x + r,0 \le r < 0,5\)
- Satu individu melakukan withdrawal pada umur \(x + 0,6\)
- Dua individu melakukan withdrawal pada umur \(x + 0,75\)
- Satu individu meninggal pada umur \(x + 0,7\)
- Dua individu tetap hidup mencapai umur \(x + 1\)
Dengan menggunakan metode actuarial estimate diperoleh \({\hat q_x} = \frac{{10}}{{33}}\) |
| Rumus yang digunakan |
\({y_i} = \) tanggal awal pengamatan – tanggal lahir
\({z_i} = \) tanggal akhir pengamatan – tanggal lahir
\({\theta _i} = \) tanggal meninggal – tanggal lahir
\({\phi _i} = \) tanggal withdraw – tanggal lahir
\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)
\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{aktuaria}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {1 – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\) |
| Proses Pengerjaan |
| \({y_i}\) |
\({z_i}\) |
\({\theta _i}\) |
\({\phi _i}\) |
\({r_i}\) |
\({s_i}\) |
\({\iota _i}\) |
\({\kappa _i}\) |
Ekposure
Aktuaria |
| \(x + r\) |
\(x + 1\) |
\(x + 0,7\) |
|
\(r\) |
1 |
0,7 |
|
\(1,00 – r\) |
| \(x + r\) |
\(x + 1\) |
|
\(x + 0,6\) |
\(r\) |
1 |
|
0,6 |
\(0,60 – r\) |
| \(x + r\) |
\(x + 1\) |
|
\(x + 0,75\) |
\(r\) |
1 |
|
0,75 |
\(0,75 – r\) |
| \(x + r\) |
\(x + 1\) |
|
\(x + 0,75\) |
\(r\) |
1 |
|
0,75 |
\(0,75 – r\) |
| \(x + r\) |
\(x + 1\) |
|
|
\(r\) |
1 |
|
|
\(1,00 – r\) |
| \(x + r\) |
\(x + 1\) |
|
|
\(r\) |
1 |
|
|
\(1,00 – r\) |
| Total |
\(5,10 – 6r\) |
Karena hanya terjadi satu kematian pada kolom \({\iota _i}\) maka \({\hat q_x} = \frac{1}{{5,1 – 6r}}\)
\({{\hat q}_x} = \frac{{10}}{{33}}\)
\(\frac{1}{{5,1 – 6r}} = \frac{{10}}{{33}}\)
\(33 = 51 – 60r\)
\(r = \frac{{18}}{{60}}\)
\(= 0,3\) |
| Jawaban |
c. 0,30 |
