Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian |
: |
Probabilitas dan Statistika |
Periode Ujian |
: |
Mei 2018 |
Nomor Soal |
: |
28 |
SOAL
Dalam sebuah model untuk Rumah sakit, biaya kamar adalah \(X\) dan biaya operasi adalah \(Y\) dimana \(0 \le y \le 2x + 1 \le 3\) dan \(x \ge 0.\) Fungsi densitas gabungan \(X\) dan \(Y\) \({\rm{ }}f(x,y) = 0,3(x + y).\). Hitunglah \(E(Y – X)\) ekspektasi kelebihan biaya operasi dibandingkan biaya kamar.
- -3/4
- -1/2
- 0
- 1/4
- 3/4
Diketahui |
\({\rm{ }}f(x,y) = 0,3(x + y)\)
\(0 \le y \le 2x + 1 \le 3{\rm{ }}\) dan \(x \ge 0.\) |
Rumus yang digunakan |
\(f(x) = \int {f(x,y)dy} \)
\(f(y) = \int {f(x,y)dx} \)
\(E(Y – X) = E(Y) – E(X)\)
\(E(X) = \int {x.f(x)dx} \)
\(E(Y) = \int {y.f(y)dy} \) |
Proses Pengerjaan |
- \(f(x) = \int {f(x,y)dy} \)
\(= \int\limits_0^{2x + 1} {0.3x + 0.3y{\rm{ }}dy} \)
\(= 0.3xy + 0.15{y^2}|_0^{2x + 1}\)
\(= 0.6{x^2} + 0.3x + 0.6{x^2} + 0.6x + 0.15\)
\(= 1.2{x^2} + 0.9x + 0.15{\rm{ (*)}}\)
- \(f(y) = \int {f(x,y)dx} \)
\(= \int\limits_{\frac{{y – 1}}{2}}^1 {0.3x + 0.3y{\rm{ }}dx} \)
\(= 0.15{x^2} + 0.3xy|_{\frac{{y – 1}}{2}}^1\)
\(= 0.15 + 0.3y – (0.075{y^2} – 0.15y)\)
\(= – 0.075{y^2} + 0.15y + 0.15{\rm{ (**)}}\)
Selanjutnya,
\(E(x) = \int\limits_0^1 x (1.2{x^2} + 0.9x + 0.15)dx\)
\(= {\rm{ }}\int\limits_0^1 {1.2{x^3} + 0.9{x^2} + 0.15x{\rm{ }}dx} \)
\(= 0.3{x^4} + 0.3{x^3} + 0.075{x^2}|_0^1 = 0.675\)
\(E(y) = \int\limits_0^1 y ( – 0.075{y^2} + 0.15y + 0.15)dy\)
\(= {\rm{ }}\int\limits_0^1 { – 0.075{y^3} + 0.15{y^2} + 0.15y{\rm{ }}dy} \)
\(= – 0.025{y^4} + 0.05{y^3} + 0.075{y^2}|_0^3 = 0.675\)
\(E(Y – X) = E(Y) – E(X) = 0.675 – 0.675 = 0\) |
Jawaban |
c. 0 |