Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian |
: |
Probabilita dan Statistika |
Periode Ujian |
: |
Juni 2014 |
Nomor Soal |
: |
10 |
SOAL
Misalkan variabel acak X memiliki fungsi pembangkit moment :
\({M_X}(t) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\frac{{{e^{(tj – 1)}}}}{{j!}}} \)
Maka Pr(X = 2) sama dengan …
- 0
- 1/(2e)
- e/2
- ½
- \(\sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\frac{{{e^{(2j – 1)}}}}{{j!}}} \)
Diketahui |
Misalkan variabel acak X memiliki fungsi pembangkit moment:
\({M_X}(t) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\frac{{{e^{(tj – 1)}}}}{{j!}}} \) |
Rumus yang digunakan |
\(E({e^{tx}}) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{e^{tj}}\frac{{{e^{ – 1}}}}{{j!}}} \)
\(\sum\limits_{x = 0}^\infty {{e^{tx}}} \Pr \left( {X = x} \right) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{e^{tj}}\frac{{{e^{ – 1}}}}{{j!}}} \) |
Proses pengerjaan |
\({M_X}(t) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\frac{{{e^{(tj – 1)}}}}{{j!}}} \)
\(\Leftrightarrow E({e^{tx}}) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{e^{tj}}\frac{{{e^{ – 1}}}}{{j!}}} \)
\(\Leftrightarrow \sum\limits_{x = 0}^\infty {{e^{tx}}} \Pr \left( {X = x} \right) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{e^{tj}}\frac{{{e^{ – 1}}}}{{j!}}} \)
Dari persamaan di atas terlihat bahwa pmf dari variable acak X adalah
\(\Pr \left( {X = x} \right) = \frac{{{e^{ – 1}}}}{{x!}},x = 0,1,2,…\)
sehingga
\(\Pr \left( {X = 2} \right) = \frac{{{e^{ – 1}}}}{{2!}} = \frac{1}{{(2e)}}\) |
Jawaban |
b. 1/(2e) |