Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Matematika Keuangan |
| Periode Ujian | : | Maret 2015 |
| Nomor Soal | : | 5 |
SOAL
Diketahui force of interest di waktu t adalah \(k{t^3}\). Jika R adalah nilai sekarang dari annuitas kontinyu yang meningkat selama 4 tahun yang mempunyai laju pembayaran di waktu t dari \(m{t^3}\). Berapakah nilai dari R?
- \(\frac{{k – m{e^{ – 4k}}}}{k}\)
- \(\frac{{k – m{e^{ – 64k}}}}{k}\)
- \(\frac{{1 – m{e^{ – 4k}}}}{k}\)
- \(\frac{{1 – m{e^{ – 64k}}}}{k}\)
- \(\frac{{m\left( {1 – {e^{ – 64k}}} \right)}}{k}\)
| Diketahui | \({\delta _t} = k{t^3}\)
\(n = 4\)
\({P_t} = m{t^3}\) |
| Rumus yang digunakan | \({({{\bar I}_{\bar a}})_{\left. {\overline {\, 4 \,}}\! \right| }} = \int_0^4 {{P_t}{v^t}} dt\)
\({v^t} = {e^{ – \int_0^t {{\delta _r}} dr}}\) |
| Proses pengerjaan | \(R = {({{\bar I}_{\bar a}})_{\left. {\overline {\, 4 \,}}\! \right| }} = \int_0^4 {{P_t}{v^t}} dt\)
dengan
\({v^t} = {e^{ – \int_0^t {{\delta _r}} dr}}\)
\({v^t} = {e^{ – \int_0^t {k{r^3}} dr}} = {e^{ – {\rm{ }}\frac{k}{4}{t^4}}}\)
\(R = {({{\bar I}_{\bar a}})_{\left. {\overline {\, 4 \,}}\! \right| }} = \int_0^4 {m{t^3}{e^{ – {\rm{ }}\frac{k}{4}{t^4}}}} dt\)
misal:
\(u = – \frac{k}{4}{t^4} \Rightarrow du = – k{t^3}dt\)
batas integrasi:
\(t = 0 \Rightarrow u = 0\)
\(t = 4 \Rightarrow u = – 64k\)
Jadi integral tersebut bisa kita tuliskan kembali menjadi :
\({({{\bar I}_{\bar a}})_{\left. {\overline {\, 4 \,}}\! \right| }} = \int_0^{ – 64k} { – \frac{m}{k}{e^u}} du\)
\({({{\bar I}_{\bar a}})_{\left. {\overline {\, 4 \,}}\! \right| }} = – \frac{m}{k}\left[ {{e^u}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { – 64k}\\0\end{array}} \right.} \right]\) |
| Jawaban | e. \(\frac{{m\left( {1 – {e^{ – 64k}}} \right)}}{k}\) |
