Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
26 |
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut:
- Kerugian mengikuti sebuah distribusi Pareto dengan parameter \(\theta \) (tidak diketahui) dan \(\alpha \) = 3.
- Sebanyak 300 kerugian telah
Tentukan variansi dari \(\theta \), taksiran \(\theta \) dengan menggunakan metode moment.
- 0,0025\({\theta ^2}\)
- 0,0033\({\theta ^2}\)
- 0,0050\({\theta ^2}\)
- 0,0100\({\theta ^2}\)
- 0,0133\({\theta ^2}\)
| Diketahui |
- Kerugian mengikuti sebuah distribusi Pareto dengan parameter \(\theta \) (tidak diketahui) dan \(\alpha \) = 3.
- Sebanyak 300 kerugian telah
|
| Rumus yang digunakan |
- \(Var(X) = E({X^2}) – (E{(X)^2})\)
- \(\bar X = E(X)\)
- \(Var(\tilde \theta ) = Var(2\bar X)\)
|
| Proses pengerjaan |
Kerugian berdistribusi Pareto
\(Var(X) = E({X^2}) – (E{(X)^2})\)
\(Var(X) = \frac{{{\theta ^2}\Gamma (2 + 1)\Gamma (3 – 2)}}{{\Gamma (3)}} = \frac{{{\theta ^2}2!1}}{{2!}} – \left( {\frac{{\theta \Gamma (2)\Gamma (3 – 1)}}{{\Gamma (3)}}} \right) = \frac{3}{4}{\theta ^2}\)
Estimasi \(\theta \) menggunakan metode moment
\(\bar X = E(X) = \frac{\theta }{2}\)
\(\tilde \theta = 2\bar X\)
Variansi dari \({\tilde \theta }\) dapat dihitung dengan
\(Var(\tilde \theta ) = Var(2\bar X) = \frac{4}{n}Var({X_i})\)
\(Var(\tilde \theta ) = \frac{4}{n}\frac{3}{4}{\theta ^2} = \frac{3}{{300}}{\theta ^2} = 0,01{\theta ^2}\) |
| Jawaban |
D. 0,0100\({\theta ^2}\) |
