Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
6 |
SOAL
Diantara fungsi berikut ini, manakah yang valid sebagai force of mortality?
- \(\mu \left( x \right) = B{C^x},B > 0,0 < C < 1,x \ge 0\)
- \(\mu \left( x \right) = B{\left( {x – 1} \right)^{\frac{{ – 1}}{2}}},B > 0,x \ge 0\)
- \(\mu \left( x \right) = k{\left( {x – 1} \right)^n},n > 0,k > 0,x \ge 0\)
- i saja
- ii saja
- iii saja
- I dan ii saja
- ii dan iii saja
| Diketahui |
- \(\mu \left( x \right) = B{C^x},B > 0,0 < C < 1,x \ge 0\)
- \(\mu \left( x \right) = B{\left( {x – 1} \right)^{\frac{{ – 1}}{2}}},B > 0,x \ge 0\)
- \(\mu \left( x \right) = k{\left( {x – 1} \right)^n},n > 0,k > 0,x \ge 0\)
|
| Rumus yang digunakan |
\({\mu _x} = \frac{{f(x)}}{{S(x)}},\) untuk \({\rm{ }}x \ge 0\), \({\mu _x} \ge 0\)
\(S(x) = {e^{ – \int\limits_0^x {\mu (t){\rm{ }}dt} }},S(0) = 1\) dan \({\rm{S(}}\infty ) = 0\) |
| Proses pengerjaan |
- \(S(x) = {e^{ – \int\limits_0^x {B{C^t}{\rm{ }}dt} }} = {e^{ – \frac{{B{C^x} – B}}{{\ln \left( C \right)}}}}\)
untuk \(x = 0,{\rm{ }}S(0) \ne 1\) (tidak valid)
- \(S(x) = {e^{ – \int\limits_0^x {B{{(t + 1)}^{ – \frac{1}{2}}}dt} }} = {e^{ – 2B{{(x + 1)}^{1/2}} + 2B}}\)
untuk \(x = 0,{\rm{ }}S(0) = 1\)
untuk \(x = \infty ,{\rm{ }}S(\infty ) = 1\) (valid)
- \(S(x) = {e^{ – \int\limits_0^x {k{{(t + 1)}^n}{\rm{ }}dt} }} = {e^{ – \frac{{k{{(1 + x)}^{n + 1}} – k}}{{n + 1}}}}\)
untuk \(x = 0,{\rm{ }}S(0) = 1\)
untuk \(x = \infty ,{\rm{ }}S(\infty ) = 1{\rm{ }}\) (valid)
sehingga yang valid adalah (ii) dan (iii) |
| Jawaban |
e. ii dan iii saja |
